该系列论文中起到了非常重要的作用，尤其在将猜想从特定情形推广到更一般的代数几何背景时起到了关键的支撑作用。

但随着我进一步审视定理的结构和在几何朗兰兹猜想证明中的应用，开始对其适用性产生了一些疑问，尤其是在处理包含奇异点或复杂几何情形时。

根据我浅薄的理解，该定理依赖于局部与全局对象的某种等价性，尤其是在同调代数和范畴论的框架中，它要求局部定义的几何对象在全局上能够保持一致。

这类局部-全局等价性在光滑几何背景下似乎是合理的，论文也讨论了一些特殊情况，但我在思考一些更复杂的情形时，例如代数簇上含有非同一般的奇异点的情况，是否存在可能的局限性？

具体来说，我怀疑在某些特定奇异点附近的局部结构可能会导致同调代数中的某些性质，例如，局部的平坦性或射影性，将无法正确地全局化。

也就是说，如果abidexterity定理必须依赖于局部几何结构的这种良好行为，那么在存在这类特定奇异点的代数簇上，定理的适用性是否会受到限制？

我目前还没有找到具体的反例，但下周的集训活动中我打算从以下两个方面进行深入思考：1、是否存在非同一般的奇异点会对局部同调代数性质的影响，引发定理的局部-全局等价性被破坏。

2、abidexterity定理的证明过程中涉及了高阶范畴论中的某些公理化结构。我想进一步探索这些范畴论公理在奇异几何情形下的表现，是否存在某些隐含假设无法在更复杂的几何背景中成立？

虽然我的想法可能在您看来肯定很幼稚，但我认为它们有一定的探索价值。几何朗兰兹猜想的证明非常复杂，而 abidexterity定理作为其中的关键结论，任何潜在的适用性问题都可能对证明的有效性产生影响。

所以我希望能从奇异点处的局部几何结构入手，进一步验证定理的局限性和潜在的问题点，如果您有更好的思路，求您赶紧告诉我，您最亲爱的学生/孙子，这一周第一次感受到了人真会掉头发的苦恼。”

这篇心得是乔喻坐在高铁上发给导师跟师爷爷的，他旁边坐的就是这次io的领队周梁教授。

但其实这些内容他昨天晚上就已经编辑好了，存在手机里，刚刚所做的就是复制、黏贴把人名加上去，然后把结尾部分的自称稍微改了下，然后点击一下发送按钮而已。

这么做主要是为了不被导师或者师爷爷又叫去训他一顿，说他不知道天高地厚。才看几天论文，就想去找人家的漏洞——这是很有可能的。

老人家更能接受他在学习的过程中，发现了漏洞，而他的这份思考明显就是抱着给人家论文挑刺的想法去的。

但没办法，老老实实按部就班的汇报，不能体现出这个问题的严重性。他现在就属于非常需要两位大佬提供帮助的时候，最好能调动许多大脑从这个方向出发，给他一些建设性的想法予以启发。

自然要把他的想法如实说出来。

说白了就是既想充分利用身边的资源，又不想承担因此而引发的责任。

终究是被余永俊跟龚家涛两个家伙给带坏了。

……

燕北大学，田言真还真没想到乔喻会在今天突然又给发了这么一条汇报。

因为要参加集训的缘故，其实田言真已经默认了这一周乔喻可以稍微休息一下，谁想到乔喻不但没休息，还向他展示了什么叫我认真起来有多可怕！

其实几何朗兰兹猜想的证明，数学界之外，并没有引发太多的讨论。

因为朗兰兹纲领对普通人来说太过遥远了，甚至亲和力都不如黎曼猜想、n-s方程这些东西。

并不是说朗兰兹纲领就一定比解决这些世界级猜想更难，主要是任何涉及到基础理论统一性的东西，门槛都极高。

比如朗兰兹纲领需要解决的主要问题是建立代数数域上的伽罗瓦表示和自守形式之间的桥梁，这玩意只看定义就知道不花费几年功夫在代数几何、数论、表示论上，题干都根本看不懂。

真的，不信可以去各大数学院采访一下，光一个自守形式，都能让无数大学生、研究生学到焦头烂额，都还是半懂不懂，更有甚者直接一窍不通。

如果是朗兰兹纲领所涉及的自守表示……那真就更是呵呵了。毕竟自守形式只是抽象，而自守表示则是更高层次的抽象，描述的代数群如何作用在特定的hilbert空间或banach空间上，这些空间内的元素可能是解析函数或一些特殊结构。

而几何朗兰兹纲领则是研究代数曲线上局部系统和自守形式几何化之间的对应关系。它只是把经典朗兰兹纲领中涉及的数论对象替换为代数几何对象。

主要研究的就是把抽象的数论问题几何化，使其可以在代数几何框架中进行处理。这可以说不是解决具体问题，而是为数学家解决更具体的问题提供有价值的工具，具有如此广泛的应用潜力。